Ann., te rog, spune-mi ca esti la profil uman sau ca ai terminat liceul acum o jumatate de secol.
Te-ar putea ajuta cineva cu o idee daca ai sti teoria/metoda de lucru pentru astfel de integrale. Matematica fara LaTeX pe forumuri e intotdeauna o placere.
Atunci cand gradul numaratorului (aici 1) e mai mic decat cel al numitorului (adica 3), se descompune numitorul in produs de factori de gradul I si/sau de gradul al II-lea cu delta < 0.
Presupun ca stii formula:
![[Imagine: gif.latex?a%5E3+b%5E3=(a+b)(a%5E2-ab+b%5E2)]](http://latex.codecogs.com/gif.latex?a%5E3+b%5E3=(a+b)(a%5E2-ab+b%5E2))
Carevasazica numitorul este:
![[Imagine: gif.latex?x%5E3+1=(x+1)(x%5E2-x+1)]](http://latex.codecogs.com/gif.latex?x%5E3+1=(x+1)(x%5E2-x+1))
Dupa ce faci asta stii ca integrandul poate fi scris astfel:
![[Imagine: gif.latex?\frac%7Bx%7D%7Bx%5E3+1%7D=\frac%7Ba%7D%7B...-x+1%7D]](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac%7Bx%7D%7Bx%5E3+1%7D=\frac%7Ba%7D%7Bx+1%7D+\frac%7Bbx+c%7D%7Bx%5E2-x+1%7D)
Cu a, b, c numere reale pe care trebuie sa le afli.
Se elimina numitorul:
![[Imagine: gif.latex?x=a(x%5E2-x+1)+(bx&plu...a+c=x]](http://latex.codecogs.com/gif.latex?x=a(x%5E2-x+1)+(bx+c)(x+1)\Rightarrow&space;(a+b)x%5E2+(b+c-a)x+a+c=x)
Identificand coeficientii se obtine sistemul:
![[Imagine: gif.latex?\\a+b=0&space;\\b+c-...a+c=0]](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\\a+b=0&space;\\b+c-a=1&space;\\a+c=0)
Sistem care are solutia:
![[Imagine: gif.latex?\\a=-\frac%7B1%7D%7B3%7D,&space;\:&spa...frac%7B1%7D%7B3%7D]](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\\a=-\frac%7B1%7D%7B3%7D,&space;\:&space;b=\frac%7B1%7D%7B3%7D,&space;\:&space;c=\frac%7B1%7D%7B3%7D)
Deci integrala ta se poate scrie:
![[Imagine: gif.latex?\int_%7B0%7D%5E%7B1%7D\frac%7Bx%7D%7Bx%5E3+...&space;)dx]](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_%7B0%7D%5E%7B1%7D\frac%7Bx%7D%7Bx%5E3+1%7Ddx=\int_%7B0%7D%5E%7B1%7D\left&space;(&space;-\frac%7B1%7D%7B3%7D\cdot&space;\frac%7B1%7D%7Bx+1%7D&space;+&space;\frac%7B1%7D%7B3%7D\cdot&space;\frac%7Bx+1%7D%7Bx%5E2-x+1%7D&space;\right&space;)dx)
Separi in doua integrale: prima e usor de calculat (nu ca a doua ar fi mai greu), iar pentru a doua incearca sa obtii derivata unui logaritm natural si a unei arctangente. Sper ca te descurci. Daca nu, o sa incerc sa te ajut. Apropo, cam asa se procedeaza in general la calculul integralelor din functii rationale (doar "cam asa" pentru ca forma numitorului nu e intotdeauna asemanatoare cu asta, cazuri in care si integrandul se scrie altfel).
Te-ar putea ajuta cineva cu o idee daca ai sti teoria/metoda de lucru pentru astfel de integrale. Matematica fara LaTeX pe forumuri e intotdeauna o placere.
Atunci cand gradul numaratorului (aici 1) e mai mic decat cel al numitorului (adica 3), se descompune numitorul in produs de factori de gradul I si/sau de gradul al II-lea cu delta < 0.
Presupun ca stii formula:
Carevasazica numitorul este:
Dupa ce faci asta stii ca integrandul poate fi scris astfel:
Cu a, b, c numere reale pe care trebuie sa le afli.
Se elimina numitorul:
Identificand coeficientii se obtine sistemul:
Sistem care are solutia:
Deci integrala ta se poate scrie:
Separi in doua integrale: prima e usor de calculat (nu ca a doua ar fi mai greu), iar pentru a doua incearca sa obtii derivata unui logaritm natural si a unei arctangente. Sper ca te descurci. Daca nu, o sa incerc sa te ajut. Apropo, cam asa se procedeaza in general la calculul integralelor din functii rationale (doar "cam asa" pentru ca forma numitorului nu e intotdeauna asemanatoare cu asta, cazuri in care si integrandul se scrie altfel).